Основания трапеции равны 4 см и 14 см, боковая сторона равна 22 см и образует с одним из оснований угол 150 градусов. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция с основаниями $a = 4\ \text{см}$ и $b = 14\ \text{см}$. Боковая сторона $c = 22\ \text{см}$ образует с одним из оснований угол $150^\circ$. Требуется найти площадь трапеции.

1. Найдём высоту трапеции

Боковая сторона вместе с основанием образует угол $150^\circ$. Удобно заметить, что

а синусы дополнительных углов равны:

Значение синуса:

значит

Высота трапеции — это проекция боковой стороны на направление, перпендикулярное основанию. То есть высота $h$ выражается через боковую сторону и синус угла:

2. Формула площади трапеции

Площадь трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$:

Подставим наши значения:

Сначала найдём полусумму оснований:

Теперь площадь:

Ответ: площадь трапеции равна $99\ \text{см}^2$.