Решите неравенство (х-6)(х-8)/(2х-7)<0

Понимаю задачу так: нужно решить неравенство

Если знак на самом деле другой ( > 0 или ≤ 0), решение будет очень похоже, в конце скажу, как его изменить.

1. Область определения

В знаменателе стоит $2x-7$. Делить на ноль нельзя, значит:

Это точка, в которой функция не существует, её в ответ включать нельзя.

2. Нули числителя и знаменателя

Разложение уже есть:

• Числитель: $(x-6)(x-8)$.

  • Нули: $x = 6$ и $x = 8$.

• Знаменатель: $2x - 7$.

  • Нуль: $x = \dfrac{7}{2}$ (точка разрыва, не входит в решение).

Критические точки на числовой прямой:

3. Разбиваем прямую на интервалы

Расставим точки по возрастанию:

Получаем интервалы:

1. $(-\infty;\, \frac{7}{2})$

2. $(\frac{7}{2};\, 6)$

3. $(6;\, 8)$

4. $(8;\, +\infty)$

На каждом интервале знак выражения не меняется, поэтому достаточно взять по одной точке и посмотреть знак.

4. Определяем знак на интервалах

Рассматриваем

1) Интервал $(-\infty;\, \frac{7}{2})$
Возьмём, например, $x = 0$:

Знак на этом интервале: минус.

2) Интервал $(\frac{7}{2};\, 6)$
Возьмём $x = 4$:

Знак: плюс.

3) Интервал $(6;\, 8)$
Возьмём $x = 7$:

Знак: минус.

4) Интервал $(8;\, +\infty)$
Возьмём $x = 9$:

Знак: плюс.

5. Учитываем знак неравенства и нули числителя

Мы решаем

Нас интересуют точки, где выражение:

• положительно,

• равно нулю.

Нули числителя: $x = 6$