Футбольный мяч представляет собой многогранник с 32 гранями, 20 из которых – белые правильные шестиугольники, а 12 – черные правильные пятиугольники. Сколько вершин у такого многогранника?

Это классический «футбольный» многогранник — усечённый икосаэдр. Посчитаем вершины двумя способами (оба сходятся).

1. Через формулу Эйлера.
   Число граней $F=32$ (20 шестиугольников и 12 пятиугольников).
   Суммарное число «полурёбер» по граням: $20\cdot6+12\cdot5=120+60=180$. Каждое ребро общое для двух граней, значит число рёбер

По формуле Эйлера $V-E+F=2$, откуда

Стоп, правильный порядок: $V=2+E-F$:

2. Через «углы» граней. В каждом вершине сходятся три грани (типично $5\text{-}6\text{-}6$). Сумма вершин всех граней равна $20\cdot6+12\cdot5=180$. Каждая вершина посчитана трижды, значит

Ответ: $60$ вершин.