Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км, выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Мотоциклист выехал на 40 минут позже велосипедиста. Встретились они в середине пути. Скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость велосипедиста и мотоциклиста.

Для решения этой задачи разобьем её на несколько этапов.

Пусть скорость велосипедиста равна $v$ км/ч. Тогда скорость мотоциклиста, согласно условию, на 30 км/ч больше, то есть его скорость равна $v + 30$ км/ч.

Сначала рассмотрим время, которое каждый из них потратил на путь до встречи. Так как они встретились в середине пути, это значит, что каждый из них проехал по 15 км.

1. Время, которое потратил велосипедист на путь до встречи:

   $$t_{\text{вел}} = \frac{15}{v} \, \text{ч}$$

2. Время, которое потратил мотоциклист:

   $$t_{\text{мото}} = \frac{15}{v + 30} \, \text{ч}$$

Из условия задачи известно, что мотоциклист выехал на 40 минут позже велосипедиста. В минутах 40 минут — это $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ часа. Таким образом, время, которое мотоциклист ехал, на $\frac{2}{3}$ часа меньше, чем время, которое ехал велосипедист. Это можно записать как:

Подставим выражения для $t_{\text{вел}}$ и $t_{\text{мото}}$:

Теперь решим это уравнение:

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

Теперь умножим обе части на $v(v + 30)$ для избавления от знаменателей:

Упростим:

Переносим все в одну сторону:

Разделим на 2 для упрощения:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Получаем два корня:

Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем $v = 15$ км/ч.

Теперь, зная скорость велосипедиста, найдём скорость мотоциклиста:

Ответ: скорость велосипедиста — 15 км/ч, скорость мотоциклиста — 45 км/ч.