Решите неравенство x² - 4x - 21 > 0.

Для решения неравенства $x^2 - 4x - 21 > 0$, сначала нужно решить соответствующее уравнение $x^2 - 4x - 21 = 0$ методом выделения корней.

1. Находим дискриминант:
   Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = -21$. Формула для дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100.$$

2. Находим корни уравнения:
   Формула для корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{4 \pm 10}{2}.$$

   Таким образом, два корня:

   $$x_1 = \frac{4 + 10}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{4 - 10}{2} = -3.$$

3. Анализируем знаки функции $f(x) = x^2 - 4x - 21$:
   Квадратное выражение $f(x) = x^2 - 4x - 21$ меняет знак в точках корней $x = 7$ и $x = -3$. Рассмотрим интервалы, на которых функция меняет знак:

   • При $x < -3$ (например, $x = -4$): $f(-4) = (-4)^2 - 4(-4) - 21 = 16 + 16 - 21 = 11$, то есть функция положительна.

   • При $-3 < x < 7$ (например, $x = 0$): $f(0) = 0^2 - 4(0) - 21 = -21$, то есть функция отрицательна.

   • При $x > 7$ (например, $x = 8$): $f(8) = 8^2 - 4(8) - 21 = 64 - 32 - 21 = 11$, то есть функция положительна.

4. Решение неравенства:
   Мы ищем значения $x$, при которых $f(x) > 0$. Это происходит на интервалах:

   $$(-\infty, -3) \cup (7, +\infty).$$

   Таким образом, решение неравенства $x^2 - 4x - 21 > 0$ — это объединение двух интервалов:

   $$x \in (-\infty, -3) \cup (7, +\infty).$$