Доказать 1/1*2+1/2*3+...1/n(n+1)=n/n+1=n/n+1

Для того чтобы доказать выражение:

следует разобрать его поэтапно.

Шаг 1: Разложение каждого члена суммы

Каждое слагаемое вида (\frac{1}{k(k+1)}\ можно разложить на два простых дробных выражения с помощью метода частичных дробей:

Подставим это разложение в исходную сумму:

Шаг 2: Упрощение суммы

Теперь рассмотрим сумму:

Мы видим, что большинство слагаемых взаимно уничтожаются (телескопический вид суммы), и остаются только два крайних:

Шаг 3: Заключение

Таким образом, сумма всех слагаемых равна:

Следовательно, доказано, что: