Свойство центрального угла

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, его стороны пересекают окружность. Главное свойство: величина центрального угла равна величине соответствующей дуги (если дугу измеряем в градусах), а также вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Чем это полезно и что из этого следует:

1. Равенства и сравнения

• Равные центральные углы опираются на равные дуги и равные хорды.

• Большему центральному углу соответствует большая дуга и более длинная хорда.

2. Связь с вписанным углом

• Если вписанный угол опирается на ту же дугу, что и центральный, то

  $$\widehat{AOB}=2\angle ACB.$$

3. Формулы (для окружности радиуса $R$, центральный угол $\theta$ в радианах, а $\alpha$ — в градусах):

• Длина дуги: $s=R\theta=\dfrac{\pi R\alpha}{180^\circ}$.

• Площадь сектора: $S=\dfrac12 R^2\theta=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360^\circ}$.

• Длина хорды, стягивающей угол $\theta$: $c=2R\sin\frac{\theta}{2}$.

• Высота сегмента (стрела) для хорды $c$: $h=R\left(1-\cos\frac{\theta}{2}\right)$.

4. Быстрые следствия для задач

• Если даны дуга или хорда — можно восстановить угол:
  $\theta=2\arcsin\frac{c}{2R}$ или $\theta=\dfrac{s}{R}$.

• Сравнение хорд сводится к сравнению соответствующих центральных углов: больше угол — длиннее хорда.

• Угол между радиусами, проведёнными к концам хорды, определяется только длиной хорды и радиусом.

Итого, ключевая мысль: центральный угол полностью «управляет» своей дугой и хордой — по нему считаются длина дуги, площадь сектора и длина хорды; а также он вдвое больше любого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.