свойство катета, лежащего против угла в 30 градусов

Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Почему это так (два коротких доказательства):

1. Построение: возьмём прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle C=90^\circ$ и $\angle A=30^\circ$. Достроим на стороне $AB$ равносторонний треугольник. Тогда $\angle A=60^\circ$ у равностороннего и $30^\circ$ у нашего, значит стороны соотносятся так, что против $30^\circ$ лежит половина стороны равностороннего, то есть половина гипотенузы $AB$.

2. Тригонометрия: $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Отсюда противолежащий катет $=\dfrac{1}{2}$ гипотенузы.

Следствия и удобные соотношения:

• Если гипотенуза $c$, то «короткий» катет $a$ (против $30^\circ$) равен $a=\dfrac{c}{2}$.

• Второй катет $b$ (против $60^\circ$) равен $b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,c$.

• Отношения сторон треугольника $30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ$: $1:\sqrt{3}:2$ (короткий катет : длинный катет : гипотенуза).

• Радиус описанной окружности равен гипотенузе пополам, а значит равен короткому катету: $R=\dfrac{c}{2}=a$.

• Если известен короткий катет $a$, то гипотенуза сразу $c=2a$, площадь $S=\dfrac{1}{2}\,a\,b=\dfrac{1}{2}\,a\cdot a\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,a^2$.