tgx + cos(3π/2 - 2x) = 0 А) Решите уравнение 2) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку [-π; π/2]

Решаю так.

Исходное уравнение:

Замечаю, что

Тогда уравнение перепишется как

Подставляю $\sin2x=2\sin x\cos x$ и $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ (при $\cos x\neq0$; точки $\tfrac{\pi}{2}+k\pi$ всё равно не будут решениями):

Отсюда два случая:

1. $\sin x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$

2. $1-2\cos^2 x=0 \;\Rightarrow\; \cos^2 x=\tfrac12 \;\Rightarrow\; \cos x=\pm\tfrac{\sqrt2}{2}$

Итак, общее решение:

(эти значения корректны в исходном уравнении и не попадают в точки $\tan x$ с разрывами).

Теперь выберем корни на отрезке $\left[-\pi;\,\frac{\pi}{2}\right]$.

• Из $x=\pi n$: $n=-1\Rightarrow x=-\pi$, $n=0\Rightarrow x=0$ (оба подходят).

• Из $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k$: берём $k=-2\Rightarrow x=-\frac{3\pi}{4}$, $k=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}$, $k=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}$ (все в отрезке); $k=1\Rightarrow \frac{3\pi}{4}>\frac{\pi}{2}$ — уже вне.

Ответ по пунктам:

А) $x=\pi n$