Какие уравнения называются равносильными?

Равносильными (эквивалентными) называют уравнения, которые имеют одинаковое множество решений на одной и той же области допустимых значений (ОДЗ). То есть либо оба уравнения не имеют корней, либо множества их корней совпадают полностью.

Нюансы:

• Равносильность всегда указывают относительно заданной ОДЗ: измените область (например, исключите точки, где выражения не определены) — равносильность может исчезнуть.

• В равносильности важны именно множества решений, а не их кратности.

Примеры:

1. $x-3=0$ и $2x-6=0$ равносильны на $\mathbb{R}$, потому что в обоих случаях $x=3$.

2. $\sqrt{x}=x$ и $x^2=x$ не равносильны на $\mathbb{R}$: второе уравнение даёт $x=0$ или $x=1$, но из первого по ОДЗ $x\ge0$ и получается только $x=0$ или $x=1$ при проверке? Проверка: $\sqrt{0}=0$ — верно, $\sqrt{1}=1$ — верно; здесь они равносильны на $[0,+\infty)$, но не на всей $\mathbb{R}$ из-за ограничения ОДЗ в первом.

3. $x=\frac{1}{x}$ и $x^2=1$ не равносильны на $\mathbb{R}$: второе имеет решения $x=\pm1$, а первое требует ещё $x\ne0$; после учёта ОДЗ первого уравнения решения совпадают ($\pm1$), однако второе допускает $x=0$ как допустимое значение переменной (хотя не решение). Поэтому равносильность корректно формулируют «на общей ОДЗ».

Итого: два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда совпадают их решения при одной и той же ОДЗ.