Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нужно сначала определить его катеты. Из условия задачи мы знаем, что периметр треугольника равен 84 см, а гипотенуза — 37 см.

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c = 37$ см.

2. Периметр прямоугольного треугольника равен сумме его сторон:

   $$a + b + c = 84$$

   Подставим значение гипотенузы:

   $$a + b + 37 = 84$$

   Отсюда:

   $$a + b = 84 - 37 = 47$$

   То есть сумма катетов равна 47 см.

3. Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется равенство:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$

   Подставим значение гипотенузы:

   $$a^2 + b^2 = 37^2 = 1369$$

4. У нас есть система уравнений:

   $$a + b = 47$$ $$a^2 + b^2 = 1369$$

   Чтобы решить эту систему, выразим одно из катетов через другое. Пусть $b = 47 - a$. Подставим это выражение во второе уравнение:

   $$a^2 + (47 - a)^2 = 1369$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2 + (47^2 - 2 \cdot 47 \cdot a + a^2) = 1369$$

   Упростим:

   $$2a^2 - 94a + 2209 = 1369$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$2a^2 - 94a + 840 = 0$$

   Разделим на 2:

   $$a^2 - 47a + 420 = 0$$

   Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

   $$a = \frac{-(-47) \pm \sqrt{(-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420}}{2 \cdot 1}$$ $$a = \frac{47 \pm \sqrt{2209 - 1680}}{2}$$ $$a = \frac{47 \pm \sqrt{529}}{2}$$ $$a = \frac{47 \pm 23}{2}$$

   Получаем два возможных значения для $a$:

   $$a = \frac{47 + 23}{2} = 35 \quad \text{или} \quad a = \frac{47 - 23}{2} = 12$$

   Следовательно, катеты равны $a = 35$ см и $b = 12$ см (или наоборот).

5. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

   Подставляем значения катетов:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = 210 \, \text{см}^2$$

Ответ: площадь прямоугольного треугольника равна 210 см².