Какое наибольшее количество точек пересечения могут иметь четыре попарно пересекающихся отрезка?

Обоснование. Два прямолинейных отрезка могут пересекаться не более чем в одной точке (если они не лежат на одной прямой и не накладываются). Для четырёх отрезков количество пар равно $\binom{4}{2}=6$. Значит, верхняя граница по числу точек пересечения — 6.

Эта граница достижима: возьмите четыре непараллельные прямые в «общем положении» (никакие три не проходят через одну точку). Каждая пара прямых пересекается в своей единственной точке — всего 6 точек. Теперь на каждой прямой отрежьте отрезок так, чтобы он содержал все три точки её пересечения с тремя другими прямыми (достаточно взять отрезок между крайними из этих трёх точек). Получатся четыре попарно пересекающихся отрезка, и все 6 точек пересечения будут различными.

Значит, наибольшее возможное число точек пересечения — 6.