Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из катетов на 3 см меньше другого. Найдите катеты.

Для решения задачи введем обозначения для катетов. Пусть один катет будет равен $x$, а другой катет — на 3 см меньше, то есть $x - 3$.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае гипотенуза равна 15 см, а катеты — $x$ и $x - 3$. Тогда можем записать уравнение:

Раскроем скобки:

Сложим подобные слагаемые:

Теперь перенесем 225 в левую часть:

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить:

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

Здесь $a = 1$, $b = -3$, $c = -108$. Подставляем эти значения:

Корень из дискриминанта:

Теперь находим корни уравнения:

Это дает два значения:

1. $x = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12$

2. $x = \frac{3 - 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку длина катета не может быть отрицательной, оставляем только положительное значение: $x = 12$.

Теперь, зная значение $x$, находим второй катет:

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 9 см.