В группе 100 человек. 28 знают английский, 30 немецкий, 42 французский язык. Английский и немецкий знают 8, французский и английский — 10, немецкий и французский — 5. Все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного языка?

Для того чтобы решить задачу, нужно использовать принцип включений и исключений.

Обозначим:

• $A$ — множество студентов, знающих английский,

• $B$ — множество студентов, знающих немецкий,

• $C$ — множество студентов, знающих французский.

Даны следующие данные:

• $|A| = 28$ (28 человек знают английский),

• $|B| = 30$ (30 человек знают немецкий),

• $|C| = 42$ (42 человека знают французский),

• $|A \cap B| = 8$ (8 человек знают и английский, и немецкий),

• $|A \cap C| = 10$ (10 человек знают и английский, и французский),

• $|B \cap C| = 5$ (5 человек знают и немецкий, и французский),

• $|A \cap B \cap C| = 3$ (3 человека знают все три языка).

Нам нужно найти, сколько студентов не знают ни одного языка. Для этого сначала вычислим, сколько студентов знают хотя бы один язык.

Для этого применим формулу для количества элементов объединения трёх множеств:

Подставим данные:

Это количество студентов, которые знают хотя бы один язык. Поскольку всего в группе 100 человек, то количество студентов, которые не знают ни одного языка, равно:

Ответ: 20 студентов не знают ни одного языка.