Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя десяти различных цветов?

Задача сводится к выбору трех разных цветов для горизонтальных полос флага, при этом полосы могут быть расположены в любом порядке.

Итак, у нас есть 10 различных цветов ткани, из которых нужно выбрать 3. Эти 3 цвета будут размещены на флаге в виде 3 горизонтальных полос.

1. Выбор цветов:
   Для первой полосы можно выбрать любой из 10 цветов, для второй полосы можно выбрать любой из оставшихся 9 цветов, а для третьей полосы – любой из оставшихся 8 цветов.

   То есть, количество способов выбрать три цвета для флага равно:

   $$10 \times 9 \times 8 = 720$$

2. Расположение полос:
   На флаге полосы имеют определённую последовательность, то есть порядок важен. Поскольку полосы могут быть любого из выбранных цветов, количество способов расставить эти цвета (с учётом порядка) — это количество перестановок 3 выбранных цветов. Поскольку мы уже выбрали 3 цвета (10 × 9 × 8 способов), порядок их размещения тоже важен и остаётся неизменным.

Таким образом, количество способов сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется 10 различных цветов материи, равно 720.