Решите неравенство (1-2x)(2x-5)≥0.

Для решения неравенства $(1 - 2x)(2x - 5) \geq 0$ нужно найти, при каких значениях $x$ произведение двух выражений будет больше или равно нулю.

1. Найдем корни каждого множителя.

   • $1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

   • $2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$.

   Таким образом, критические точки (корни) для каждого из множителей — это $x = \frac{1}{2}$ и $x = \frac{5}{2}$.

2. Разбиваем числовую прямую на интервалы с учетом этих критических точек:

   • $x < \frac{1}{2}$

   • $\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$

   • $x > \frac{5}{2}$

3. Анализируем знак выражения на каждом интервале. Для этого подставим значения из каждого интервала в выражение $(1 - 2x)(2x - 5)$:

   • Для $x < \frac{1}{2}$, например, $x = 0$:
     $(1 - 2(0))(2(0) - 5) = 1 \times (-5) = -5$. Произведение отрицательное.

   • Для $\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$, например, $x = 1$:
     $(1 - 2(1))(2(1) - 5) = (-1) \times (-3) = 3$. Произведение положительное.

   • Для $x > \frac{5}{2}$, например, $x = 3$:
     $(1 - 2(3))(2(3) - 5) = (-5) \times (1) = -5$. Произведение отрицательное.

4. Учитываем знак неравенства ($\geq 0$). Мы ищем, когда произведение больше или равно нулю, то есть:

   • На интервале $\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ произведение положительное.

   • В точках $x = \frac{1}{2}$ и $x = \frac{5}{2}$ произведение равно нулю, так как один из множителей становится равным нулю.

   Следовательно, неравенство выполняется на интервале $\left[\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right]$, включая сами эти точки.

5. Ответ: $x \in \left[\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right]$.