Решите неравенство \(2x^2 + x - 1 > 0\).

Для решения неравенства $2x^2 + x - 1 > 0$, нужно сначала решить соответствующее квадратное уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$, а затем использовать его корни для нахождения интервалов, на которых неравенство выполняется.

Шаг 1: Решаем квадратное уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$

Для решения этого уравнения используем формулу дискриминанта. Формула для дискриминанта квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ следующая:

где $a = 2$, $b = 1$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант:

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Находим их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

Подставляем значения:

Таким образом, получаем два корня:

Шаг 2: Определяем знаки на интервалах

Корни уравнения $x = \frac{1}{2}$ и $x = -1$ делят числовую прямую на три интервала: $(- \infty, -1)$, $(-1, \frac{1}{2})$, и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Теперь исследуем знак выражения $2x^2 + x - 1$ на каждом из этих интервалов:

• На интервале $(- \infty, -1)$: Возьмем, например, точку $x = -2$:

  $$2(-2)^2 + (-2) - 1 = 2 \cdot 4 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5$$

  Это положительное число, значит, на интервале $(- \infty, -1)$ выражение $2x^2 + x - 1 > 0$.

• На интервале $(-1, \frac{1}{2})$: Возьмем точку $x = 0$:

  $$2(0)^2 + 0 - 1 = -1$$

  Это отрицательное число, значит, на интервале $(-1, \frac{1}{2})$ выражение $2x^2 + x - 1 < 0$.

• На интервале $(\frac{1}{2}, +\infty)$: Возьмем точку $x = 1$:

  $$2(1)^2 + 1 - 1 = 2 + 1 - 1 = 2$$

  Это положительное число, значит, на интервале $(\frac{1}{2}, +\infty)$ выражение $2x^2 + x - 1 > 0$.

Шаг 3: Записываем решение