Решите неравенство: 4х в квадрате-12х+9>0

Для решения неравенства $4x^2 - 12x + 9 > 0$ сначала попробуем решить его как квадратное неравенство.

1. Запишем выражение:

   $$4x^2 - 12x + 9 > 0$$

2. Преобразуем левую часть:
   Заметим, что выражение $4x^2 - 12x + 9$ является полным квадратом. Мы можем записать его как:

   $$(2x - 3)^2$$

   Это видно, если разложить:

   $$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$$

3. Подставим в исходное неравенство:
   Теперь неравенство примет вид:

   $$(2x - 3)^2 > 0$$

4. Анализируем неравенство:
   Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. То есть, $(2x - 3)^2 \geq 0$ для всех $x$, и только в случае, когда $2x - 3 = 0$, выражение равно нулю. Решим:

   $$2x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}$$

5. Заключение:
   Неравенство $(2x - 3)^2 > 0$ выполняется, когда $x \neq \frac{3}{2}$. То есть, решение этого неравенства — все $x$, кроме $x = \frac{3}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$.