Решите неравенство log₂(0.5x) > log₂(3 - 2x)

Решим неравенство $\log_2(0.5x) > \log_2(3 - 2x)$.

1. Перепишем неравенство в удобном виде:

   Поскольку логарифмы с одинаковыми основаниями, можно воспользоваться свойством: если $\log_a A > \log_a B$, то $A > B$ при условии, что $A > 0$ и $B > 0$.

   Таким образом, неравенство преобразуется в:

   $$0.5x > 3 - 2x$$

2. Решаем полученное линейное неравенство:

   $$0.5x + 2x > 3$$

   Приводим подобные:

   $$2.5x > 3$$

   Теперь делим обе части на 2.5:

   $$x > \frac{3}{2.5} = 1.2$$

3. Условия существования логарифмов:

   Логарифмы определены только для положительных значений аргументов. Поэтому необходимо, чтобы:

   $$0.5x > 0 \quad \text{и} \quad 3 - 2x > 0$$

   Решим каждое из этих неравенств:

   • $0.5x > 0$ даёт $x > 0$.

   • $3 - 2x > 0$ даёт $x < \frac{3}{2} = 1.5$.

4. Объединение всех условий:

   Мы получили следующие условия для $x$:

   • $x > 1.2$ (решение из основного неравенства).

   • $x > 0$ и $x < 1.5$ (условия для существования логарифмов).

   Таким образом, объединяя все условия, получаем:

   $$1.2 < x < 1.5$$

Ответ: $x \in (1.2, 1.5)$.