1. длину отрезка АВ; 2. уравнение прямой, проходящей через точки А и В; 3. уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно прямой АВ; 4. уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно прямой АВ; 5. расстояние от точки С до прямой АВ.

Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, давайте представим, что точки $A$, $B$ и $C$ имеют координаты на плоскости. Предположим, что координаты точки $A(x_1, y_1)$, точки $B(x_2, y_2)$ и точки $C(x_3, y_3)$.

1. Длина отрезка $AB$

Длину отрезка можно найти по формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

где $(x_1, y_1)$ — координаты точки $A$, а $(x_2, y_2)$ — координаты точки $B$.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки $A$ и $B$

Чтобы найти уравнение прямой, нужно сначала вычислить её наклон (угловой коэффициент). Он равен:

Тогда уравнение прямой можно записать в виде:

или в стандартной форме:

где $b$ — это свободный член, который можно найти, подставив координаты точки $A(x_1, y_1)$ в уравнение:

3. Уравнение прямой, проходящей через вершину $C$ параллельно прямой $AB$

Если прямая должна быть параллельной прямой $AB$, то её угловой коэффициент будет тот же, что и у прямой $AB$, то есть $k$. Уравнение прямой, проходящей через точку $C(x_3, y_3)$, будет:

или в стандартной форме:

где $b'$ можно найти, подставив координаты точки $C(x_3, y_3)$:

4. Уравнение прямой, проходящей через вершину $C$ перпендикулярно прямой $AB$

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной к прямой $AB$, будет противоположным по знаку и обратным по величине. То есть, если угловой коэффициент прямой $AB$ равен $k$, то угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет $-\frac{1}{k}$.

Тогда уравнение прямой, проходящей через точку $C(x_3, y_3)$ и перпендикулярной прямой $AB$, будет:

или в стандартной форме:

где $b''$ можно найти, подставив координаты точки $C(x_3, y_3)$: