В тетраэдре DABC точка M — середина AD, P принадлежит DC и DP:PC = 1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M и P и параллельной BC. Найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны a.

Для решения задачи, давайте рассмотрим тетраэдр $DABC$, где точка $M$ — середина ребра $AD$, точка $P$ лежит на ребре $DC$ и делит его в отношении $DP:PC = 1:3$. Задача требует построения сечения тетраэдра плоскостью, которая проходит через точки $M$ и $P$ и параллельна ребру $BC$, а также нахождения площади этого сечения, если все ребра тетраэдра равны $a$.

Шаг 1. Построение сечения

1. Определим координаты вершин тетраэдра. Без потери общности можно разместить тетраэдр в координатной системе, принимая:

   • $D(0, 0, 0)$,

   • $A(a, 0, 0)$,

   • $B\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, 0\right)$,

   • $C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{6}, \frac{\sqrt{6}a}{3}\right)$.

2. Координаты точки $M$ (середина ребра $AD$). Поскольку $M$ — середина ребра $AD$, его координаты будут:

   $$M\left( \frac{a}{2}, 0, 0 \right).$$

3. Координаты точки $P$ (делит ребро $DC$ в отношении $DP:PC = 1:3$). Точка $P$ делит ребро $DC$ в отношении 1:3, то есть ее координаты можно вычислить как:

   $$P\left( \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{6}, \frac{\sqrt{6}a}{12} \right).$$

Шаг 2. Плоскость сечения

Плоскость, которая проходит через точки $M$ и $P$, и параллельна ребру $BC$, будет иметь такое направление, которое совпадает с направлением вектора $BC$, а также пересекает точки $M$ и $P$. Для нахождения уравнения этой плоскости достаточно взять два вектора, лежащие в плоскости, и использовать их для определения нормали.

• Вектор $\overrightarrow{BC} = C - B = \left( 0, -\frac{\sqrt{3}a}{3}, \frac{\sqrt{6}a}{3} \right)$.

• Вектор $\overrightarrow{MP} = P - M = \left( 0, \frac{\sqrt{3}a}{6}, \frac{\sqrt{6}a}{12} \right)$.

Нормаль плоскости можно получить, вычислив векторное произведение этих двух векторов:

Затем используя точку $M$ и нормаль $\overrightarrow{N}$, можно записать уравнение плоскости.

Шаг 3. Площадь сечения

Чтобы найти площадь сечения, нужно понять, что сечение будет треугольником. Его вершины находятся на пересечении плоскости с тремя ребрами тетраэдра. Нам нужно вычислить длины сторон треугольника и использовать формулу для площади треугольника через стороны или координаты его вершин.

С учетом того, что все ребра тетраэдра равны $a$, площадь сечения можно будет выразить через параметры, связанные с размерами тетраэдра и отношением точек, через которые проходит плоскость.

После вычислений, площадь сечения будет равна: