Что такое сумма? Что такое разность? Что такое сумма квадратов чисел? Что такое квадрат суммы чисел? Какие это все действия?

Отвечаю как обычный пользователь на сайте вопросов-ответов.

Сумма — это результат сложения чисел. Если есть числа $a$ и $b$, их сумма записывается как $a+b$.
Примеры: $3+5=8$, $7+0=7$.
Свойства сложения: перестановочное ($a+b=b+a$) и сочетательное ($(a+b)+c=a+(b+c)$); есть нейтральный элемент 0 ($a+0=a$).

Разность — это результат вычитания одного числа из другого. Для чисел $a$ и $b$ разность $a-b$.
Примеры: $9-4=5$, $4-9=-5$.
Свойства вычитания: не является ни перестановочным ($a-b \neq b-a$), ни сочетательным; нейтральный элемент — тоже 0 в смысле $a-0=a$.

Сумма квадратов чисел — это выражение вида $a^2+b^2$, где каждое число сначала возводят в квадрат, а потом результаты складывают.
Пример: при $a=2, b=3$ получаем $2^2+3^2=4+9=13$.

Квадрат суммы чисел — это квадрат выражения $(a+b)^2$. По формуле разложения:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$
Пример: при $a=2, b=3$ получаем $(2+3)^2=5^2=25$, и по формуле — $4+12+9=25$.

Важно не путать:

• Сумма квадратов: $a^2+b^2$.

• Квадрат суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
  Они дают разные результаты почти всегда (совпадут только если $ab=0$).

Какие это действия?

• «Сумма» и «разность» — это базовые арифметические операции (сложение и вычитание).

• «Сумма квадратов» и «квадрат суммы» — это алгебраические выражения, построенные на тех же операциях (возведение в степень, сложение, умножение) и связанных с ними тождествах.

Для наглядности на одном примере $a=1, b=4$:

• Сумма: $1+4=5$.

• Разность: $1-4=-3$.

• Сумма квадратов: $1^2+4^2=1+16=17$.

• Квадрат суммы: $(1+4)^2=5^2=25=a^2+2ab+b^2=1+8+16=25$.