Окно имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр окна равен Р. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

Пусть прямоугольная часть окна имеет ширину $w$ и высоту $h$. Полукруг «сидит» на ширине $w$, значит его радиус $r=\tfrac{w}{2}$.

Периметр. По условию он задан и равен

Отсюда

Площадь (пропускаемый свет):

Подставляем $h$:

Это квадратичная функция по $w$ с максимумом в вершине:

Тогда

Ответ. Максимальную площадь (светопропускание) даёт окно, у которого высота прямоугольной части равна радиусу полукруга:

Иначе говоря, оптимально, когда прямоугольник вдвое ниже своей ширины ($h^\*=\tfrac{w^\*}{2}$).