Средняя линия треугольника разбивает его на треугольник и четырехугольник. Какую часть составляет площадь полученного треугольника от площади исходного?

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне.

Пусть дан треугольник $ABC$. Возьмём середины сторон $AB$ и $AC$: это точки $M$ и $N$. Тогда $MN$ — средняя линия, и $MN \parallel BC$. Эта средняя линия делит исходный треугольник на:

• треугольник $AMN$,

• четырёхугольник $MBCN$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMN$. Они подобны, потому что:

• $\angle A$ общий,

• $\angle AMN = \angle ABC$ (так как $MN \parallel BC$),

• $\angle ANM = \angle ACB$ (так как $MN \parallel BC$).

Теперь важное: так как $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$, то

Значит, коэффициент подобия треугольника $AMN$ к $ABC$ равен

Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия:

Ответ: площадь полученного треугольника составляет $\frac{1}{4}$ площади исходного треугольника.