z1=2+5i z2=1-i Найти z1+z2; z1-z2; z1:z2; z1*z2

Давайте поэтапно решим задачи с комплексными числами.

1. Сложение $z_1 + z_2$:

   Комплексные числа складываются по отдельности для действительной и мнимой части.

   $$z_1 = 2 + 5i, \quad z_2 = 1 - i$$

   Сложим их:

   $$z_1 + z_2 = (2 + 1) + (5i - i) = 3 + 4i$$

2. Вычитание $z_1 - z_2$:

   Аналогично, вычитаем действительные и мнимые части.

   $$z_1 - z_2 = (2 - 1) + (5i + i) = 1 + 6i$$

3. Деление $z_1 : z_2$:

   Для деления комплексных чисел используем формулу:

   $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c^2 + d^2)}$$

   Где $z_1 = 2 + 5i$ и $z_2 = 1 - i$, $a = 2$, $b = 5$, $c = 1$, $d = -1$.

   Умножаем числитель и знаменатель на комплексно-сопряжённое число $z_2$:

   $$\frac{(2 + 5i)}{(1 - i)} \cdot \frac{(1 + i)}{(1 + i)} = \frac{(2 + 5i)(1 + i)}{(1^2 + (-1)^2)} = \frac{(2 + 5i)(1 + i)}{2}$$

   Раскроем скобки:

   $$(2 + 5i)(1 + i) = 2(1 + i) + 5i(1 + i) = 2 + 2i + 5i + 5i^2 = 2 + 7i - 5 = -3 + 7i$$

   Теперь разделим на 2:

   $$\frac{-3 + 7i}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{7}{2}i$$

4. Умножение $z_1 \times z_2$:

   Умножаем комплексные числа по формуле:

   $$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$$

   Для $z_1 = 2 + 5i$ и $z_2 = 1 - i$, $a = 2$, $b = 5$, $c = 1$, $d = -1$, получаем:

   $$(2 + 5i)(1 - i) = 2(1 - i) + 5i(1 - i) = 2 - 2i + 5i - 5i^2 = 2 - 2i + 5i + 5 = 7 + 3i$$