Найдите пересечение и объединение множеств решений двух неравенств 3 < x ≤ 5 и 4 ≤ x < 7.

Для решения задачи нужно найти пересечение и объединение двух множеств решений.

1. Множество решений первого неравенства: $3 < x \leq 5$

Это неравенство обозначает, что $x$ больше 3, но не превышает 5. В математической записи: $x \in (3, 5]$.

2. Множество решений второго неравенства: $4 \leq x < 7$

Это неравенство говорит, что $x$ не меньше 4, но строго меньше 7. В математической записи: $x \in [4, 7)$.

Теперь найдем пересечение и объединение этих множеств.

Пересечение:

Пересечение множеств решений — это такие значения $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим неравенствам. Чтобы найти пересечение, нужно определить общие элементы для множеств $(3, 5]$ и $[4, 7)$.

• Множество $(3, 5]$ содержит все числа от 3 до 5, не включая 3, но включая 5.

• Множество $[4, 7)$ включает все числа от 4 до 7, не включая 7, но начиная с 4.

Таким образом, пересечение этих двух множеств — это интервал $[4, 5]$, который включает все значения $x$ от 4 до 5, включая 4 и 5.

Объединение:

Объединение множеств решений — это такие значения $x$, которые принадлежат хотя бы одному из множества. Чтобы найти объединение, нужно взять все элементы, которые содержатся хотя бы в одном из этих интервалов.

• Множество $(3, 5]$ содержит все числа от 3 до 5, не включая 3, но включая 5.

• Множество $[4, 7)$ содержит все числа от 4 до 7, не включая 7, но начиная с 4.

Объединение этих двух интервалов будет: $(3, 7)$, так как интервал $[4, 7)$ полностью покрывает часть интервала $(3, 5]$, а $(3, 5]$ добавляет только точку 3, которая уже включена в $(3, 7)$.

Ответ:

• Пересечение: $[4, 5]$

• Объединение: $(3, 7)$