У треугольника все стороны равны друг другу. На одной из сторон треугольника построен прямоугольник, площадь которого равна 96 см², а одна из его сторон 8 см. Сторона прямоугольника совпадает со стороной треугольника. Найди площадь квадрата, периметр которого равен периметру получившейся фигуры. Рассмотри разные случаи.

У нас есть равносторонний треугольник, на одной из сторон которого построен прямоугольник. Площадь этого прямоугольника равна 96 см², а одна из его сторон 8 см. Сторона прямоугольника совпадает с одной из сторон треугольника.

Шаг 1: Найдем длину стороны треугольника

Площадь прямоугольника можно найти по формуле:

где $a$ — длина стороны прямоугольника, которая совпадает с длиной стороны треугольника, а $b$ — другая сторона прямоугольника. Из условия задачи известно, что площадь прямоугольника равна 96 см², а одна из сторон прямоугольника равна 8 см. Подставим это в формулу:

Тогда

Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника равна 12 см.

Шаг 2: Найдем периметр полученной фигуры

Периметр полученной фигуры состоит из периметра равностороннего треугольника и одной стороны прямоугольника. Периметр равностороннего треугольника равен:

Периметр прямоугольника, который имеет две стороны по 8 см и две стороны по 12 см, равен:

Площадь фигуры состоит из суммы площади треугольника и площади прямоугольника.

Шаг 3: Найдем площадь квадрата

Теперь найдем площадь квадрата, периметр которого равен периметру полученной фигуры. Периметр полученной фигуры:

Периметр квадрата равен $4 \times \text{сторона квадрата}$, поэтому длина стороны квадрата $s$ равна:

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

Ответ: площадь квадрата, периметр которого равен периметру получившейся фигуры, равна 361 см².