Войсковой обоз длиной 2 км движется со скоростью 3 км/ч. Вестовой пробегает из конца обоза до его начала и обратно за 30 минут. Найдите скорость вестового. Ответ дайте в км/ч.

Для решения задачи давайте разобьем её на несколько частей.

1. Расстояние, которое проходит вестовой:
   Войсковой обоз длиной 2 км движется со скоростью 3 км/ч. Вестовой пробегает из конца обоза до его начала и обратно. Это означает, что вестовой пробегает дважды длину обоза, т.е. в одну сторону 2 км и обратно тоже 2 км, всего 4 км.

2. Время, которое тратит вестовой:
   Время, за которое вестовой пробегает это расстояние, равно 30 минутам, или 0,5 часа.

3. Движение вестового:
   Вестовой движется относительно обоза. Обоз движется со скоростью 3 км/ч, а вестовой бегает вдоль него. Для того чтобы посчитать скорость вестового, нужно учесть скорость как обоза, так и самого вестового.

   Вестовой бегает туда и обратно, т.е. на пути в одну сторону его скорость складывается с движением обоза, а на пути обратно она вычитается из скорости обоза.

   Пусть скорость вестового относительно земли — это $v_w$. Тогда:

   • В одну сторону вестовой движется с эффективной скоростью $v_w + 3$ км/ч, потому что он догоняет обоз.

   • В другую сторону его скорость будет $v_w - 3$ км/ч, так как он двигается навстречу обоза.

4. Расчет времени:
   Время, которое вестовой тратит на путь в одну сторону, равно расстояние (2 км) разделить на скорость (в одну сторону):

   $$t_1 = \frac{2}{v_w + 3}$$

   Время, которое вестовой тратит на путь обратно (в другую сторону), равно:

   $$t_2 = \frac{2}{v_w - 3}$$

   Полное время на обе стороны равно 0,5 часа:

   $$t_1 + t_2 = 0,5$$

   Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

   $$\frac{2}{v_w + 3} + \frac{2}{v_w - 3} = 0,5$$

5. Решение уравнения:
   Умножим обе части уравнения на $(v_w + 3)(v_w - 3)$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $$2(v_w - 3) + 2(v_w + 3) = 0,5(v_w^2 - 9)$$

   Упростим:

   $$2v_w - 6 + 2v_w + 6 = 0,5v_w^2 - 4,5$$ $$4v_w = 0,5v_w^2 - 4,5$$

   Умножим на 2 для упрощения:

   $$8v_w = v_w^2 - 9$$

   Переносим все на одну сторону:

   $$v_w^2 - 8v_w - 9 = 0$$

   Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

   $$v_w = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}$$ $$v_w = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$$ $$v_w = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2}$$ $$v_w = \frac{8 \pm 10}{2}$$

   Таким образом, получаем два возможных значения:

   $$v_w = \frac{8 + 10}{2} = 9 \quad \text{или} \quad v_w = \frac{8 - 10}{2} = -1$$

   Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость вестового равна 9 км/ч.

Ответ: скорость вестового — 9 км/ч.