От лесоповала вниз по течению реки движется плот длиной 1 км. Плотовщик доплывает на моторке из конца плота к его началу и обратно за 8 минут 20 секунд. Найдите скорость плота, если собственная скорость моторки равна 15 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Для решения задачи давайте разобьем ее на несколько этапов.

1. Определим время на движение моторки вдоль плота.
   Плотовщик двигается на моторке из конца плота к его началу и обратно. Время, затраченное на это движение, составляет 8 минут 20 секунд, что равно 8 + 20/60 = 8,333 минуты или 8,333/60 = 0,1389 часов.

2. Обозначим неизвестные величины.
   Пусть:

   • $v$ — скорость плота (км/ч).

   • Скорость моторки относительно воды — 15 км/ч.

3. Составим уравнение для времени в пути.
   Когда плотовщик двигается вдоль плота (от конца к началу), его скорость относительно земли будет равна разности скорости моторки и скорости плота, то есть $15 - v$. На обратном пути, когда плотовщик плывет в сторону, противоположную движению плота, его скорость будет равна сумме скоростей моторки и плота, то есть $15 + v$.

4. Расчет времени на каждое из движений.
   Плот имеет длину 1 км. Для того чтобы пройти 1 км вдоль плота со скоростью $15 - v$, время будет равно:

   $$t_1 = \frac{1}{15 - v}.$$

   На обратном пути время будет равно:

   $$t_2 = \frac{1}{15 + v}.$$

   Суммарное время для обеих частей пути составляет 0,1389 часа:

   $$t_1 + t_2 = 0,1389.$$

   Подставляем выражения для времени:

   $$\frac{1}{15 - v} + \frac{1}{15 + v} = 0,1389.$$

5. Решение уравнения.
   Приведем дроби к общему знаменателю:

   $$\frac{(15 + v) + (15 - v)}{(15 - v)(15 + v)} = 0,1389.$$

   Упростим числитель:

   $$\frac{30}{(15 - v)(15 + v)} = 0,1389.$$

   Заметим, что $(15 - v)(15 + v) = 15^2 - v^2 = 225 - v^2$. Подставим это в уравнение:

   $$\frac{30}{225 - v^2} = 0,1389.$$

   Умножим обе стороны уравнения на $225 - v^2$:

   $$30 = 0,1389 \times (225 - v^2).$$

   Раскроем скобки:

   $$30 = 31,2525 - 0,1389v^2.$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$0,1389v^2 = 31,2525 - 30 = 1,2525.$$

   Разделим на 0,1389:

   $$v^2 = \frac{1,2525}{0,1389} \approx 9.$$

   Извлекаем квадратный корень:

   $$v \approx 3 \, \text{км/ч}.$$

Таким образом, скорость плота составляет примерно 3 км/ч.