Найдите область определения функции : а) у=5 / х²+2;б) у=7х² / х(х+4); в) у=√2х²+3х-2;г) у=√х+4 / √х-5

Функция 1: у = 5 / (х² + 2)

Область определения функции – это все такие значения $x$, при которых выражение под знаком деления не обращается в ноль. Для данной функции в знаменателе стоит $х² + 2$. Это выражение всегда положительно, так как $х² \geq 0$ для любых $х$, а прибавление 2 делает его строго положительным. Поэтому, для всех значений $х$ функция определена.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (все действительные числа).

Функция 2: у = (7х²) / (х(х + 4))

В этой функции в знаменателе есть произведение двух выражений: $х$ и $(х + 4)$. Чтобы функция была определена, знаменатель не должен равняться нулю. То есть, нужно решить:

Это означает, что $х \neq 0$ и $х \neq -4$. Таким образом, область определения — все действительные числа, кроме 0 и -4.

Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{0, -4\}$.

Функция 3: у = √(2х² + 3х - 2)

Под знаком корня стоит квадратное выражение $2х² + 3х - 2$. Чтобы функция была определена, это выражение должно быть неотрицательным, то есть:

Нужно решить неравенство. Для этого можно найти корни квадратного уравнения $2х² + 3х - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Получаем два корня:

Следовательно, неравенство $2х² + 3х - 2 \geq 0$ выполняется при $х \leq -2$ или $х \geq 0.5$. Это и будет область определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [0.5, \infty)$.

Функция 4: у = √(х + 4) / √(х - 5)

В этой функции под корнями стоят выражения $х + 4$ и $х - 5$. Чтобы функция была определена, оба выражения должны быть положительными, так как корень из отрицательного числа в вещественных числах не существует.

1. $х + 4 \geq 0 \Rightarrow х \geq -4$

2. $х - 5 > 0 \Rightarrow х > 5$

Таким образом, для того чтобы оба условия выполнялись, $х$ должно быть строго больше 5.

Ответ: $x \in (5, \infty)$.