Вася поменял местами цифры некоторого двузначного числа и получил двузначное число в 4,5 раза меньше, чем исходное число. В каком числе Вася поменял цифры?

Пусть исходное двузначное число обозначается как $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. После того как Вася поменял местами цифры, новое число будет $10b + a$.

Из условия задачи известно, что новое число в 4,5 раза меньше исходного, то есть:

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части равенства на 4,5:

Теперь умножим в левой части выражения:

Для удобства умножим все на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

Переносим все члены с $a$ и $b$ на одну сторону:

Упростим:

Разделим обе части на 11:

Таким образом, цифра десятков $a$ в исходном числе равна 8, умноженной на цифру единиц $b$. Поскольку $a$ и $b$ — это цифры, то $b$ должно быть не более 9. Рассмотрим возможные значения для $b$.

Если $b = 1$, то $a = 8 \cdot 1 = 8$, и исходное число равно $10a + b = 10 \cdot 8 + 1 = 81$.

Проверим, выполняется ли условие задачи для числа 81: если поменять цифры, получится число 18. Действительно, $18 = \frac{81}{4,5}$, так что Вася поменял цифры в числе 81.

Ответ: Вася поменял цифры в числе 81.