Периметр прямоугольного треугольника 56 см. Гипотенуза 25 см. Найдите катеты прямоугольного треугольника.

Для того чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, воспользуемся теоремой Пифагора и формулой для периметра.

Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Из условия задачи известно:

• Периметр треугольника: $P = a + b + c = 56$ см.

• Гипотенуза: $c = 25$ см.

1. Из первого уравнения периметра получаем:

   $$a + b + 25 = 56.$$

   Отсюда:

   $$a + b = 56 - 25 = 31.$$

2. Теперь используем теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике:

   $$a^2 + b^2 = c^2.$$

   Подставляем значение гипотенузы $c = 25$:

   $$a^2 + b^2 = 25^2 = 625.$$

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $a + b = 31$,

2. $a^2 + b^2 = 625$.

Для решения этой системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выражаем $b$:

Подставляем это выражение во второе уравнение:

Раскроем скобки:

Собираем все элементы в одно уравнение:

Упростим:

Теперь решим это квадратное уравнение. Разделим все на 2:

Для решения применим дискриминант:

Корни уравнения вычисляем по формуле:

Таким образом, два возможных значения для $a$:

Если $a = 24$, то $b = 31 - 24 = 7$, и наоборот, если $a = 7$, то $b = 31 - 7 = 24$.

Итак, катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см.