Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.

Пусть даны два равнобедренных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$. Предположим, что их основания равны и равны прилежащие к основанию углы, то есть

• $BC = B'C'$ (основания равны),

• $\angle ABC = \angle A'B'C'$ (углы при основании равны; можно так же рассматривать углы при другом конце основания — рассуждение будет аналогичным).

Нужно доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

Шаг 1. Используем свойство равнобедренного треугольника

Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то углы при основании равны:

Аналогично, $\triangle A'B'C'$ равнобедренный с основанием $B'C'$, значит

Шаг 2. Получаем равенство вторых углов при основании

Из условия $\angle ABC = \angle A'B'C'$. Подставим равные им углы из свойства равнобедренного треугольника:

• $\angle ACB = \angle ABC$,

• $\angle A'C'B' = \angle A'B'C'$.

Следовательно,

То есть мы получили: в обоих треугольниках равны оба угла, прилежащие к основанию.

Шаг 3. Применяем признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам

Теперь у нас есть:

• $BC = B'C'$ — сторона (основание),

• $\angle ABC = \angle A'B'C'$ — угол, прилежащий к этой стороне,

• $\angle ACB = \angle A'C'B'$ — второй угол, прилежащий к этой же стороне.

Значит, по признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (ASA):

Вывод

Равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого, потому что в равнобедренном треугольнике автоматически равен и второй угол при основании, и далее срабатывает признак равенства по стороне и двум прилежащим углам.