Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 6, но не делятся ни на 9, ни на 7?

Для того чтобы ответить на вопрос, нужно проанализировать, сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 6, но не делятся на 9 и 7.

1. Условия задачи:

• Число должно быть трёхзначным.

• Число должно делиться на 6.

• Число не должно делиться на 9.

• Число не должно делиться на 7.

2. Числа, делящиеся на 6

Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно. Это значит, что:

• Число должно быть чётным.

• Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Трёхзначные числа варьируются от 100 до 999.

• Число делится на 6, если оно чётное и сумма его цифр делится на 3.

Найдём количество трёхзначных чисел, делящихся на 6:

• Первое трёхзначное число, которое делится на 6, — это 102. Последнее число, которое делится на 6, — это 996.

• Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 102$, последний член $a_n = 996$, разность $d = 6$.

Число таких чисел можно найти по формуле для $n$-го члена арифметической прогрессии:

Подставим значения:

То есть, существует 150 трёхзначных чисел, которые делятся на 6.

3. Числа, делящиеся на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Мы исключим такие числа из нашего множества.

Найдём количество чисел, делящихся на 6 и на 9 (то есть, делящихся на 18):

Число делится на 18, если оно делится и на 2, и на 9. Числа, делящиеся на 18, образуют прогрессию, где первый член $a_1 = 102$, а последний член $a_n = 990$, разность $d = 18$.

Найдем количество таких чисел:

Поскольку $n$ должно быть целым числом, округляем до ближайшего целого числа $n = 50$.

Итак, существует 50 чисел, которые делятся на 18.

4. Числа, делящиеся на 7

Число делится на 7, если оно делится на 7. Числа, делящиеся на 6 и на 7 (то есть на 42), также нужно исключить.

Найдём количество чисел, делящихся на 6 и на 7 (то есть, делящихся на 42):

Числа, делящиеся на 42, образуют прогрессию, где первый член $a_1 = 102$, а последний член $a_n = 990$, разность $d = 42$.

Найдем количество таких чисел:

Округляем до целого числа, $n = 22$.

Итак, существует 22 числа, которые делятся на 42.

5. Числа, делящиеся на 6, 9 и 7 (то есть на 126)

Нам нужно найти количество чисел, делящихся на 126. Эти числа делятся и на 6, и на 9, и на 7.

Числа, делящиеся на 126, образуют прогрессию, где первый член $a_1 = 126$, а последний член $a_n = 990$, разность $d = 126$.

Найдем количество таких чисел:

Округляем до ближайшего целого числа, $n = 7$.

Итак, существует 7 чисел, которые делятся на 126.

6. Финальный подсчёт:

Теперь можем подсчитать, сколько чисел удовлетворяют всем условиям. Мы начали с 150 чисел, которые делятся на 6, из которых:

• 50 чисел делятся на 9 (их нужно исключить),

• 22 числа делятся на 7 (их тоже нужно исключить),

• 7 чисел делятся на 6, 9 и 7 одновременно, и их нужно добавить обратно, так как они были исключены дважды.

Итак, количество чисел, которые делятся на 6, но не делятся ни на 9, ни на 7:

Ответ: существует 85 трёхзначных чисел, которые делятся на 6, но не делятся ни на 9, ни на 7.