Значение произведения каких двух чисел равно значению их суммы?

Решим уравнение для двух чисел $a$ и $b$:

Перенесём всё влево и добавим $1$:

Левая часть раскладывается как произведение:

Отсюда общее решение (над реальными числами): $a\neq 1$ и

Аналогично можно выражать $a$ через $b$: $a = 1 + \dfrac{1}{b-1}$, $b\neq1$. То есть все пары $(a,b)$, для которых $(a-1)(b-1)=1$.

Несколько замечаний и примеров:

• Нельзя иметь $a=1$ или $b=1$ (ведёт к противоречию).

• Целые решения получаются, когда $a-1$ и $b-1$ — целые делители $1$. Это даёт пары $(2,2)$ и $(0,0)$, потому что $(2-1)(2-1)=1$ и $(0-1)(0-1)=1$.

• Пример с дробями: если $a=3$, то $b=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}$; проверка: $3\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{9}{2}=3+\tfrac{3}{2}$.

Итого: все пары чисел $(a,b)$, удовлетворяющие $(a-1)(b-1)=1$ (с исключением $a=1$ или $b=1$).