Что является графиком линейной функции? Как построить график линейной функции?

Графиком линейной функции является прямая линия.

Линейная функция обычно записывается в виде:

y = kx + b

где:

• x — независимая переменная;

• y — зависимая переменная;

• k — угловой коэффициент;

• b — число, показывающее, где прямая пересекает ось Oy.

Что показывает каждый коэффициент

1. Коэффициент k

Он отвечает за наклон прямой.

• если k > 0, то прямая поднимается слева направо;

• если k < 0, то прямая опускается слева направо;

• если k = 0, то получается горизонтальная прямая y = b.

2. Коэффициент b

Он показывает точку пересечения графика с осью Oy.
То есть при x = 0 получаем:

y = b

Значит, точка (0; b) всегда лежит на графике.

Как построить график линейной функции

Чтобы построить график функции y = kx + b, достаточно найти две точки, принадлежащие этой функции, и провести через них прямую.

Способ 1. По таблице значений

Рассмотрим пример:

y = 2x + 1

Выберем несколько значений x и найдем соответствующие значения y.

• при x = 0:
  y = 2·0 + 1 = 1

• при x = 1:
  y = 2·1 + 1 = 3

• при x = -1:
  y = 2·(-1) + 1 = -1

Получили точки:

• (0; 1)

• (1; 3)

• (-1; -1)

Теперь на координатной плоскости отмечаем эти точки и проводим через них прямую. Это и будет график функции.

Способ 2. По коэффициентам k и b

Рассмотрим ту же функцию:

y = 2x + 1

1. Сначала отмечаем точку пересечения с осью Oy:
   b = 1, значит, ставим точку (0; 1).

2. Затем используем коэффициент k = 2.
   Это можно понимать так: если x увеличится на 1, то y увеличится на 2.

От точки (0; 1) идем:

• вправо на 1,

• вверх на 2.

Получаем точку (1; 3).

После этого через точки (0; 1) и (1; 3) проводим прямую.

Еще пример

Пусть дана функция:

y = -x + 2

Здесь:

• k = -1

• b = 2

Сначала отмечаем точку (0; 2).

Так как k = -1, то при увеличении x на 1 значение y уменьшается на 1.

От точки (0; 2):

• вправо на 1,

• вниз на 1.

Получаем точку (1; 1).

Можно взять еще точку:

• при x = 2

• y = -2 + 2 = 0

Получаем точку (2; 0).

Через эти точки проводим прямую.

Важные выводы

1. График линейной функции всегда прямая.

2. Для построения прямой достаточно двух точек.

3. Точка (0; b) находится сразу, потому что это пересечение с осью Oy.

4. Коэффициент k показывает направление и крутизну прямой.

Особые случаи

1. Функция вида y = kx

Если b = 0, то прямая проходит через начало координат, то есть через точку (0; 0).

Например:

y = 3x

Точки:

• (0; 0)

• (1; 3)

График — прямая через начало координат.

2. Функция вида y = b

Если k = 0, то получаем постоянную функцию.

Например:

y = 4

Это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0; 4) и все точки, где y = 4.

Кратко

График линейной функции — это прямая линия.
Чтобы его построить, нужно:

1. записать функцию в виде y = kx + b;

2. найти хотя бы две точки, удовлетворяющие этой функции;

3. отметить их на координатной плоскости;

4. провести через них прямую.

Именно эта прямая и будет графиком линейной функции.