Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой, укажите характер монотонности.

Невозможно доказать монотонность и указать её характер, пока не задана сама функция.

Обычно такие задачи решают так:

Если дана функция $f(x)$, находят её производную $f'(x)$ на всей числовой прямой и смотрят на знак:

• если $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то функция строго возрастает на всей числовой прямой;

• если $f'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то функция строго убывает на всей числовой прямой;

• если $f'(x) \ge 0$ для всех $x$, то функция неубывающая;

• если $f'(x) \le 0$ для всех $x$, то функция невозрастающая.

Если производной нет, можно пользоваться определением монотонности:

для любых $x_1 < x_2$

• если $f(x_1) < f(x_2)$, то функция возрастает;

• если $f(x_1) > f(x_2)$, то функция убывает.

То есть для полного доказательства обязательно нужно знать вид функции. Без этого ответ дать нельзя.