Является ли данная функция четной или нечетной: y=sinx+x; Доказать, что функция y=f(x) является периодической с периодом 2π, если: y=cosx-1; Доказать, что функция y=f(x) является периодической с периодом T, если: y=sin2x, T=π.

1. Является ли функция y = sin(x) + x четной или нечетной?

Для того, чтобы функция была четной, должно выполняться условие:

$f(-x) = f(x)$

А для того, чтобы функция была нечетной, должно выполняться условие:

$f(-x) = -f(x)$

Теперь рассмотрим функцию $y = \sin(x) + x$.

1. Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение функции:

2. Используем свойство синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$.

Тогда:

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

Как видно, $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция $y = \sin(x) + x$ не является четной и нечетной.

2. Доказательство, что функция y = cos(x) - 1 является периодической с периодом $2\pi$

Чтобы доказать, что функция является периодической с периодом $2\pi$, нужно показать, что для некоторого $T = 2\pi$ выполняется условие:

Подставим $f(x) = \cos(x) - 1$ и проверим:

Используем периодичность функции косинуса: $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.

Тогда:

А это равно:

Так как $f(x + 2\pi) = f(x)$, то функция действительно периодическая с периодом $2\pi$.

Ответ: Функция $y = \cos(x) - 1$ периодична с периодом $2\pi$.

3. Доказательство, что функция y = sin(2x) является периодической с периодом $\pi$

Чтобы доказать, что функция $y = \sin(2x)$ периодична с периодом $\pi$, нужно показать, что:

для $T = \pi$.

Подставим $f(x) = \sin(2x)$ и проверим:

Используем периодичность синуса: $\sin(2x + 2\pi) = \sin(2x)$.

Тогда:

А это равно:

Так как $f(x + \pi) = f(x)$, функция периодична с периодом $\pi$.

Ответ: Функция $y = \sin(2x)$ периодична с периодом $\pi$.