Докажите, что только одно число, состоящее из чётного количества одинаковых цифр, является простым. Найдите это число.

Пусть число состоит из $2n$ одинаковых цифр, где $2n$ — чётное количество цифр. Обозначим эту цифру через $a$, где $a \in \{1,2,\dots,9\}$.

Тогда наше число имеет вид

Его можно записать так:

Теперь рассмотрим число из $2n$ единиц:

Так как в нём чётное число цифр, признак делимости на 11 сразу даёт, что оно делится на 11.
Действительно, для числа, состоящего из одних единиц, сумма цифр на нечётных местах и сумма цифр на чётных местах одинаковы, потому что цифр чётное количество. Значит, их разность равна нулю, а это и означает делимость на 11.

Следовательно, число

тоже делится на 11.

Значит, любое такое число либо равно 11, либо составное.

Почему может быть только 11?
Потому что простое число, делящееся на 11, обязано быть самим числом 11. Если оно больше 11, то у него есть нетривиальный делитель 11, значит оно составное.

Остаётся проверить, подходит ли 11:

• 11 состоит из чётного количества одинаковых цифр;

• 11 — простое число.

Итак, единственное простое число, состоящее из чётного количества одинаковых цифр, — это