В скольких партиях с равным по силе противником выигрыш более вероятен: в трёх партиях из четырёх или в пяти из восьми?

Чтобы разобраться в этом вопросе, нужно рассмотреть вероятность выигрыша при условии, что противник примерно равен по силе, а значит, каждая отдельная партия — это событие с вероятностью победы $p = 0.5$.

Задача сводится к сравнению вероятностей того, что игрок выиграет более половины партий в двух случаях:

1. 3 из 4 партий
   Тут нужно выиграть минимум 3 партии из 4.
   Вероятность $P(X \ge 3)$, где $X \sim \text{Binomial}(n=4, p=0.5)$:

   • Вероятность выиграть ровно 3: $C_4^3 \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^1 = 4 \cdot 0.125 \cdot 0.5 = 0.25$

   • Вероятность выиграть ровно 4: $C_4^4 \cdot 0.5^4 = 1 \cdot 0.0625 = 0.0625$

   Суммируем: $0.25 + 0.0625 = 0.3125$

   То есть вероятность выиграть 3 или 4 партии из 4 ≈ 31.25%.

2. 5 из 8 партий
   Нужно выиграть минимум 5 партий из 8.
   Вероятность $P(Y \ge 5)$, где $Y \sim \text{Binomial}(n=8, p=0.5)$:

   • Выиграть ровно 5: $C_8^5 \cdot 0.5^8 = 56 \cdot 0.00390625 = 0.21875$

   • Ровно 6: $C_8^6 \cdot 0.5^8 = 28 \cdot 0.00390625 = 0.109375$

   • Ровно 7: $C_8^7 \cdot 0.5^8 = 8 \cdot 0.00390625 = 0.03125$

   • Ровно 8: $C_8^8 \cdot 0.5^8 = 1 \cdot 0.00390625 = 0.00390625$

   Суммируем: $0.21875 + 0.109375 + 0.03125 + 0.00390625 \approx 0.3633$

   То есть вероятность выиграть 5–8 партий из 8 ≈ 36.33%.

Вывод: выигрыш более вероятен в серии 5 из 8 партий, чем в серии 3 из 4, несмотря на то что для выигрыша нужно больше побед. Это связано с тем, что при большем числе партий распределение вероятностей «сглаживается», и шансы преодолеть среднюю планку (50%) растут.