1) Запишите в виде обыкновенной дроби 0,(57). 2) Решите неравенство |x² - 6x + 5| ≥ x + 5.

Давай разберём оба задания подробно, шаг за шагом.

1) Записать 0,(57) в виде обыкновенной дроби

Число $0,(57)$ — это периодическая десятичная дробь с периодом 57.

Обозначим:

Так как период состоит из 2 цифр, умножим на 100:

Теперь вычтем исходное $x$:

Следовательно:

Сократим дробь на 3:

✅ Ответ: $\frac{19}{33}$

2) Решить неравенство $|x^2 - 6x + 5| \ge x + 5$

Сначала разложим квадратный трёхчлен:

Неравенство имеет вид:

Для модулей рассмотрим два случая:

Случай 1: $(x-1)(x-5) \ge 0$

Это когда $x \le 1$ или $x \ge 5$. Тогда модуль раскрывается просто:

1a) Для $x \le 1$:

Решение: $x \le 0$ или $x \ge 7$, но мы рассматриваем только $x \le 1$, значит:

1b) Для $x \ge 5$:

Решение: $x \le 0$ или $x \ge 7$, учитывая $x \ge 5$, остаётся:

Случай 2: $(x-1)(x-5) < 0$

Это когда $1 < x < 5$. Тогда модуль меняет знак:

Дискриминант:

Значит, квадратичная функция всегда положительна, и неравенство $x^2 - 5x + 10 \le 0$ не имеет решений в этом промежутке.

✅ Объединяем решения: