a) Докажите, что числа 266 и 285 не взаимно простые. b) Докажите, что числа 301 и 585 взаимно простые.

Давайте разберём этот вопрос шаг за шагом, как если бы мы писали ответ на сайте вопросов и ответов.

a) Докажите, что числа 266 и 285 не взаимно простые

Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Если НОД больше 1, значит числа имеют общий делитель, и они не взаимно простые.

1. Найдём разложение чисел на простые множители:

• 266 делится на 2, так как оно чётное:
  $266 = 2 \cdot 133$
  Проверим 133:
  133 делится на 7? 7×19 = 133 → верно.
  Итак:
  $266 = 2 \cdot 7 \cdot 19$

• 285 делится на 5, так как заканчивается на 5:
  $285 = 5 \cdot 57$
  57 делится на 3 и 19: 57 = 3 × 19
  Итак:
  $285 = 3 \cdot 5 \cdot 19$

2. Найдём общий простой множитель:

• Оба числа имеют 19 как множитель.

3. Вывод:
   Поскольку у 266 и 285 есть общий делитель 19 (который больше 1), они не взаимно простые.

b) Докажите, что числа 301 и 585 взаимно простые

1. Найдём разложение чисел на простые множители:

• 301 — проверим на делимость простыми числами:
  301 делится на 7? Нет, 7×43 = 301? Проверим: 7×43 = 301 → верно.
  Значит:
  $301 = 7 \cdot 43$

• 585 — делится на 5, так как оканчивается на 5:
  $585 = 5 \cdot 117$
  117 делится на 3? 117 ÷ 3 = 39
  39 = 3 × 13
  Итак:
  $585 = 5 \cdot 3^2 \cdot 13$

2. Проверим наличие общих простых множителей:

• 301 = 7 × 43

• 585 = 3² × 5 × 13

Нет общих простых множителей.

3. Вывод:
   Поскольку у 301 и 585 нет общих делителей кроме 1, они взаимно простые.

✅ Итог:

• 266 и 285 не взаимно простые (общий делитель 19).

• 301 и 585 взаимно простые (нет общих простых делителей).