1. Что значит разложить число на простые множители? 2. Существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на простые множители? 3. Чем могут отличаться два разложения одного и того же числа на простые множители?

Разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел. Например, 60 = 2·2·3·5, то есть 60 = 2²·3·5. Здесь все множители (2, 3, 5) — простые.

Любое составное число n > 1 можно разложить на простые множители. Это гарантирует основная теорема арифметики: каждое натуральное число больше 1 либо само простое, либо единственным образом (с точностью до порядка множителей) представимо как произведение простых. Исключения из этого правила — не «составные», а особые случаи:
• 1 не является ни простым, ни составным; его «разложение» обычно считают пустым произведением.
• 0 формально делится на любое число, но стандартного разложения на простые множители для него не задают.
• Для отрицательных чисел выделяют знак: например, −60 = (−1)·2²·3·5.

Два разложения одного и того же числа на простые множители могут отличаться только порядком множителей (и, если рассматривать отрицательные числа, ещё вынесенным множителем −1). Поэтому 60 = 2·3·2·5 и 60 = 3·2²·5 — это одно и то же разложение; в «каноническом» виде просто упорядочивают простые и записывают их со степенями: 60 = 2²·3·5. Уникальность разложения — ключевая часть той же основной теоремы арифметики.