1. Докажите, что числа 364 и 495 — взаимно простые. 2. Докажите, что числа 1095 и 738 не являются взаимно простыми.

1. Докажите, что числа 364 и 495 — взаимно простые.

Чтобы доказать, что два числа взаимно простые, необходимо показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. То есть, они не имеют общих делителей, кроме 1.

Для этого используем алгоритм Евклида, который позволяет найти НОД двух чисел.

Шаги:

1. Находим остаток от деления большего числа на меньшее:

   495 ÷ 364 = 1, остаток 495 - 364 = 131.

2. Делаем то же самое с новыми числами (364 и 131):

   364 ÷ 131 = 2, остаток 364 - 2 * 131 = 102.

3. Делаем то же самое с числами 131 и 102:

   131 ÷ 102 = 1, остаток 131 - 102 = 29.

4. Делаем то же самое с числами 102 и 29:

   102 ÷ 29 = 3, остаток 102 - 3 * 29 = 15.

5. Делаем то же самое с числами 29 и 15:

   29 ÷ 15 = 1, остаток 29 - 15 = 14.

6. Делаем то же самое с числами 15 и 14:

   15 ÷ 14 = 1, остаток 15 - 14 = 1.

7. Наконец, с числами 14 и 1:

   14 ÷ 1 = 14, остаток 0.

Как только остаток стал равным 0, мы видим, что последний ненулевой остаток — 1. Это значит, что НОД чисел 364 и 495 равен 1, и, следовательно, числа 364 и 495 взаимно простые.

2. Докажите, что числа 1095 и 738 не являются взаимно простыми.

Для доказательства того, что числа не являются взаимно простыми, нужно показать, что их НОД больше 1.

Используем тот же алгоритм Евклида.

Шаги:

1. Находим остаток от деления 1095 на 738:

   1095 ÷ 738 = 1, остаток 1095 - 738 = 357.

2. Делаем то же самое с числами 738 и 357:

   738 ÷ 357 = 2, остаток 738 - 2 * 357 = 24.

3. Делаем то же самое с числами 357 и 24:

   357 ÷ 24 = 14, остаток 357 - 14 * 24 = 21.

4. Делаем то же самое с числами 24 и 21:

   24 ÷ 21 = 1, остаток 24 - 21 = 3.

5. Делаем то же самое с числами 21 и 3:

   21 ÷ 3 = 7, остаток 0.

Когда остаток стал равным 0, последний ненулевой остаток — 3. Это значит, что НОД чисел 1095 и 738 равен 3, и следовательно, числа 1095 и 738 не являются взаимно простыми.