Докажите ,что: (2a-b)(2a+b)+(b-c)(b+c)+(c-2a)(c+2a)=0

Давайте разберём это выражение шаг за шагом:

Нам нужно доказать, что:

Для этого начнём с разложения каждого из произведений по формуле разности квадратов, так как у нас встречаются выражения вида $(x - y)(x + y)$, которые можно преобразовать как $x^2 - y^2$.

1. Первое произведение: $(2a - b)(2a + b)$

Это можно разложить по формуле разности квадратов:

2. Второе произведение: $(b - c)(b + c)$

Точно так же применим формулу разности квадратов:

3. Третье произведение: $(c - 2a)(c + 2a)$

И снова применяем формулу разности квадратов:

Теперь подставим все разложенные выражения в исходное равенство:

Посмотрим, как можно упростить это выражение. Сначала заметим, что $-b^2 + b^2 = 0$ и $-4a^2 + 4a^2 = 0$, то есть:

Таким образом, вся эта сумма равна нулю:

Это и есть требуемое доказательство.