Какова вероятность того, что случайно задуманное двузначное число, сумма цифр которого кратна 5, окажется простым?

Для того чтобы рассчитать вероятность того, что случайно задуманное двузначное число, сумма цифр которого кратна 5, окажется простым, давайте разберемся шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем все двузначные числа, у которых сумма цифр кратна 5.

Двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это первая цифра (от 1 до 9), а $b$ — вторая цифра (от 0 до 9).

Сумма цифр этого числа: $a + b$. Нас интересуют такие числа, у которых эта сумма кратна 5. То есть, нужно найти все такие пары $(a, b)$, что:

Проверим возможные значения для каждой цифры $a$:

• Если $a = 1$, то $b$ должно быть таким, чтобы $1 + b \equiv 0 \pmod{5}$, т.е. $b \equiv 4 \pmod{5}$. Значит, $b = 4, 9$.

• Если $a = 2$, то $b \equiv 3 \pmod{5}$, т.е. $b = 3, 8$.

• Если $a = 3$, то $b \equiv 2 \pmod{5}$, т.е. $b = 2, 7$.

• Если $a = 4$, то $b \equiv 1 \pmod{5}$, т.е. $b = 1, 6$.

• Если $a = 5$, то $b \equiv 0 \pmod{5}$, т.е. $b = 0, 5$.

• Если $a = 6$, то $b \equiv 4 \pmod{5}$, т.е. $b = 4, 9$.

• Если $a = 7$, то $b \equiv 3 \pmod{5}$, т.е. $b = 3, 8$.

• Если $a = 8$, то $b \equiv 2 \pmod{5}$, т.е. $b = 2, 7$.

• Если $a = 9$, то $b \equiv 1 \pmod{5}$, т.е. $b = 1, 6$.

Теперь мы можем подсчитать количество таких чисел:

• Для $a = 1$ — два числа: 14, 19.

• Для $a = 2$ — два числа: 23, 28.

• Для $a = 3$ — два числа: 32, 37.

• Для $a = 4$ — два числа: 41, 46.

• Для $a = 5$ — два числа: 50, 55.

• Для $a = 6$ — два числа: 64, 69.

• Для $a = 7$ — два числа: 73, 78.

• Для $a = 8$ — два числа: 82, 87.

• Для $a = 9$ — два числа: 91, 96.

Итак, существует 18 таких чисел.

Шаг 2: Определим, какие из этих чисел простые.

Теперь нужно проверить, какие из этих чисел являются простыми:

• 14 — не простое (делится на 2 и 7).

• 19 — простое.

• 23 — простое.

• 28 — не простое (делится на 2 и 7).

• 32 — не простое (делится на 2).

• 37 — простое.

• 41 — простое.

• 46 — не простое (делится на 2 и 23).

• 50 — не простое (делится на 2 и 5).

• 55 — не простое (делится на 5 и 11).

• 64 — не простое (делится на 2).

• 69 — не простое (делится на 3 и 23).

• 73 — простое.

• 78 — не простое (делится на 2 и 3).

• 82 — не простое (делится на 2).

• 87 — не простое (делится на 3).

• 91 — не простое (делится на 7 и 13).

• 96 — не простое (делится на 2 и 3).

Простые числа среди них: 19, 23, 37, 41, 73.

Итак, простых чисел — 5.

Шаг 3: Рассчитаем вероятность.

Теперь, когда мы знаем, что из 18 чисел, сумма цифр которых кратна 5, только 5 являются простыми, вероятность того, что случайно выбранное число окажется простым, равна:

Таким образом, вероятность того, что случайно задуманное двузначное число, сумма цифр которого кратна 5, окажется простым, составляет $\frac{5}{18}$.