Найдите сумму 1^2-2^2+3^2-4^2+...99^2-100^2

Для того чтобы найти сумму выражения $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + 99^2 - 100^2$, можно разобрать её по парам. Каждая пара имеет вид:

где $n$ — нечетное число. Рассмотрим, что будет происходить при вычислении разности:

Таким образом, каждая пара даёт результат $-2n - 1$. Теперь нужно посчитать сумму для всех таких пар от 1 до 99.

Для $n = 1, 3, 5, \dots, 99$ мы имеем:

Эту сумму можно разделить на два компонента:

1. Сумма всех $-2n$, где $n = 1, 3, 5, \dots, 99$,

2. Сумма всех $-1$, которые мы прибавляем к каждой из пар.

Для вычисления суммы всех нечетных чисел от 1 до 99, можно воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии. Сумма всех нечетных чисел от 1 до 99 равна:

Теперь рассчитаем обе суммы:

1. Сумма $-2n$ будет:

2. Сумма всех $-1$, которые прибавляются к каждой паре, даст:

Итак, общая сумма:

Ответ: сумма равна $-5050$.