Найти наименьшее трёхзначное нечётное число, которое делится нацело на 11, и в десятичной записи которого первая цифра (число сотен) в два раза больше третьей (число единиц).

Для того чтобы найти наименьшее трёхзначное нечётное число, которое делится нацело на 11, и в котором первая цифра в два раза больше третьей, нужно пройти несколько шагов:

1. Трёхзначное нечётное число:
   Это число должно быть в диапазоне от 100 до 999 и нечётным. То есть его последняя цифра (единицы) должна быть нечётной: 1, 3, 5, 7, или 9.

2. Число делится на 11:
   Для числа, которое делится на 11, существует специальное правило: разность суммы цифр на нечётных позициях и суммы цифр на чётных позициях должна делиться на 11. То есть, если число $abc$ (где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц), то условие для делимости на 11 будет такое:

   $$(a + c) - b \equiv 0 \pmod{11}$$

3. Первая цифра в два раза больше третьей:
   Это означает, что $a = 2c$, где $a$ — цифра сотен, а $c$ — цифра единиц.

Теперь можно идти поэтапно:

• Пусть $a = 2c$, то есть возможные значения для $a$ и $c$ такие:

  • Если $c = 1$, то $a = 2$,

  • Если $c = 3$, то $a = 6$,

  • Если $c = 5$, то $a = 10$ (не подходит, так как цифра не может быть 10),

  • Если $c = 7$, то $a = 14$ (не подходит, так как цифра не может быть 14),

  • Если $c = 9$, то $a = 18$ (не подходит, так как цифра не может быть 18).

  Таким образом, возможные пары $a, c$ — это:

  • $a = 2, c = 1$,

  • $a = 6, c = 3$.

• Рассмотрим пару $a = 2, c = 1$:

  • Число будет иметь вид $2b1$, где $b$ — цифра десятков. Число нечётное, так как последняя цифра 1.

  • Проверим делимость на 11: для числа $2b1$ разность $a + c - b = 2 + 1 - b = 3 - b$ должна быть кратна 11. То есть, $3 - b \equiv 0 \pmod{11}$, что даёт $b = 3$.

  • Число: 231. Проверим, делится ли оно на 11: $2 + 1 - 3 = 0$, и это делится на 11.

  Таким образом, число 231 подходит.

• Рассмотрим пару $a = 6, c = 3$:

  • Число будет иметь вид $6b3$, где $b$ — цифра десятков. Число нечётное, так как последняя цифра 3.

  • Проверим делимость на 11: для числа $6b3$ разность $a + c - b = 6 + 3 - b = 9 - b$ должна быть кратна 11. То есть, $9 - b \equiv 0 \pmod{11}$, что даёт $b = 9$.

  • Число: 693. Проверим, делится ли оно на 11: $6 + 3 - 9 = 0$, и это делится на 11.

  Таким образом, число 693 также подходит.

Между числами 231 и 693 наименьшее число — это 231.

Ответ: наименьшее трёхзначное нечётное число, которое делится на 11 и в котором первая цифра в два раза больше третьей, это 231.