Найти наибольший общий делитель чисел 180 и 312.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 180 и 312, можно использовать метод разложения чисел на простые множители или алгоритм Евклида.

1. Разложение на простые множители:

   Начнем с разложения обоих чисел на простые множители.

   Для числа 180:

   • 180 делится на 2: $180 \div 2 = 90$

   • 90 делится на 2: $90 \div 2 = 45$

   • 45 делится на 3: $45 \div 3 = 15$

   • 15 делится на 3: $15 \div 3 = 5$

   • 5 — простое число.

   Разложение числа 180: $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

   Для числа 312:

   • 312 делится на 2: $312 \div 2 = 156$

   • 156 делится на 2: $156 \div 2 = 78$

   • 78 делится на 2: $78 \div 2 = 39$

   • 39 делится на 3: $39 \div 3 = 13$

   • 13 — простое число.

   Разложение числа 312: $312 = 2^3 \times 3 \times 13$

   Теперь для нахождения НОД возьмем общие множители с наименьшими степенями:

   • Для 2: минимальная степень $2^2$

   • Для 3: минимальная степень $3^1$

   НОД = $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.

2. Алгоритм Евклида:

   Алгоритм Евклида для нахождения НОД работает по принципу: если $a$ и $b$ — два числа, то НОД этих чисел равен НОД числа $b$ и остатка от деления $a$ на $b$, пока остаток не станет равным 0.

   Применим алгоритм Евклида:

   $312 \div 180 = 1$ (остаток 132),
   $180 \div 132 = 1$ (остаток 48),
   $132 \div 48 = 2$ (остаток 36),
   $48 \div 36 = 1$ (остаток 12),
   $36 \div 12 = 3$ (остаток 0).

   Когда остаток стал равным 0, последний ненулевой остаток — это и есть НОД, то есть 12.

Итак, наибольший общий делитель чисел 180 и 312 равен 12.