Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 8 см. Найти длину диагонали осевого сечения и острый угол её наклона к плоскости основания.

Для решения задачи рассмотрим цилиндр с радиусом основания $r = 3 \, \text{см}$ и высотой $h = 8 \, \text{см}$.

1. Длина диагонали осевого сечения

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольный треугольник, где одна из сторон — это высота цилиндра, а другая — диаметр основания цилиндра.

• Высота цилиндра $h = 8 \, \text{см}$.

• Диаметр основания цилиндра равен $2r = 2 \times 3 = 6 \, \text{см}$.

Диагональ осевого сечения — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $6 \, \text{см}$ (диаметр основания) и $8 \, \text{см}$ (высота цилиндра). Мы можем найти длину диагонали, используя теорему Пифагора:

Подставляем значения:

Итак, длина диагонали осевого сечения цилиндра составляет $10 \, \text{см}$.

2. Острый угол наклона диагонали к плоскости основания

Острый угол наклона диагонали осевого сечения к плоскости основания можно найти с использованием тригонометрии. У нас есть прямоугольный треугольник, в котором одна из сторон $h = 8 \, \text{см}$ — это противоположная сторона угла, а другая сторона $2r = 6 \, \text{см}$ — прилежащая.

Используем тангенс угла $\alpha$, который равен отношению противоположной стороны к прилежащей:

Подставляем значения:

Теперь находим угол $\alpha$:

Вычисляем:

Итак, острый угол наклона диагонали осевого сечения к плоскости основания равен примерно $53,13^\circ$.

Ответ

• Длина диагонали осевого сечения цилиндра равна $10 \, \text{см}$.

• Острый угол наклона диагонали к плоскости основания составляет примерно $53,13^\circ$.